<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<page xmlns="http://projectmallard.org/1.0/" type="topic" id="curve-fitting" xml:lang="uk">
    <info>
        <include xmlns="http://www.w3.org/2001/XInclude" href="legal.xml"/>
        <link type="guide" xref="index#topics"/>
    
    <mal:credit xmlns:mal="http://projectmallard.org/1.0/" type="translator copyright">
      <mal:name>Юрій Чорноіван</mal:name>
      <mal:email>yurchor@ukr.net</mal:email>
      <mal:years>2024</mal:years>
    </mal:credit>
  </info>
    <title>Апроксимація кривою</title>
    <p>Апроксимація кривої дозволяє виконувати потужний аналіз імпортованих наборів даних шляхом знаходження параметрів математичної моделі, яка найкраще описує дані. На цій сторінці розглянуто такі теми:</p>
    <list>
        <item>
            <p><link xref="#fitting">Апроксимація даних</link>: налаштовування і виконання апроксимації.</p>
        </item>
        <item>
            <p><link xref="#bounds">Обмеження</link>: обмеження параметрів апроксимації.</p>
        </item>
        <item>
            <p><link xref="#results">Результати</link>: інтерпретація результатів.</p>
        </item>
        <item>
            <p><link xref="#residuals">Різниці</link>: вивчення якості апроксимації.</p>
        </item>
        <item>
            <p><link xref="#algorithms">Алгоритми апроксимації</link>: вибір належного алгоритму для ваших даних.</p>
        </item>
    </list>
    <section id="fitting">
        <title>Апроксимація даних</title>
        <p>Щоб розпочати апроксимацію набору даних кривою, натисніть три вертикальні крапки на елементі, який слід наблизити, і виберіть <em>Апроксимація кривою</em>. У відповідь буде відкрито вікно «Апроксимація кривою». Апроксимацію і її довірчу смугу можна переглядати інтерактивно при коригуванні параметрів.</p>
        <p>Рівняння для апроксимації можна вибрати зі спадного списку. Доступні такі попередньо визначені рівняння, формулу для яких показано як підзаголовок:</p>
        <terms>
            <item>
                <title>Лінійна</title>
                <p><code>a·x + b</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Квадратична</title>
                <p><code>a·x² + b·x + c</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Показникова</title>
                <p><code>a·exp(b·x)</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Степенева</title>
                <p><code>a·x^b</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Логарифмічна</title>
                <p><code>a·log(x) + b</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Логістична сигмоїда</title>
                <p><code>L / (1 + exp(-k·(x - b)))</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Гаусова</title>
                <p><code>a·exp(-(x - μ)² / (2·σ²))</code></p>
            </item>
            <item>
                <title>Нетипова</title>
                <p>Введіть будь-яке рівняння, використовуючи <code>x</code> як незалежну змінну. Будь-які інші назви змінних, які не є функціями (наприклад, sin(x) або exp(x)), автоматично виявляються та обробляються як вільні параметри для апроксимації.</p>
            </item>
        </terms>
        <p>Щойно буде знайдено задовільне наближення, натисніть <em>Додати апроксимацію даних</em>, щоб додати отриману криву як нове рівняння в проєкті, підставивши у вираз визначені значення параметрів.</p>
    </section>
    <section id="bounds">
        <title>Обмеження</title>
        <p>Кожен вільний параметр, виявлений у рівнянні, буде показано на бічній панелі з трьома полями: початкове припущення, мінімальна межа та максимальна межа. Початкове припущення – це початкове значення, яке використовується алгоритмом. Використання якісного початкового припущення, близького до очікуваного значення, допоможе апроксимації збігтися. Межі обмежують діапазон значень, які може приймати параметр.</p>
        <p>Типовими значеннями полів меж є <code>-inf</code> та <code>inf</code>, тобто обмеження не застосовуються. Щоб обмежити параметр, введіть потрібні мінімальне та максимальне значення.</p>
        <p>Зверніть увагу, що поля меж буде показано лише тоді, коли вибрано алгоритм, у якому передбачено їхню підтримку. Якщо використано алгоритм Левенберга-Марквардта межі буде приховано, оскільки у цьому алгоритмі їхньої підтримки не передбачено. Див. <link xref="#algorithms"/>, щоб дізнатися більше.</p>
    </section>
    <section id="results">
        <title>Результати</title>
        <p>Після успішного визначення параметрів апроксимації панель результатів показуватиме два розділи: «Параметри» та «Статистика».</p>
        <p>У розділі «Параметри» буде показано кожен підібраний параметр з його значенням. Якщо вибрано довірчий рівень, відмінний від «Немає», поруч із кожним значенням буде показано поле у ​​формі <code>± похибка</code>, де похибка — це стандартне відхилення цього параметра, помножене на вибраний довірчий коефіцієнт. Отже, для рівня довіри 1σ похибка дорівнює стандартному відхиленню, а для 2σ та 3σ похибка дорівнює відповідно подвоєному та потрійному стандартному відхиленню. Довірчий рівень можна встановити з головного меню:</p>
        <list>
            <item>
                <p><em>Немає</em>: без показу полів.</p>
            </item>
            <item>
                <p><em>1σ: довірчий інтервал 68%</em></p>
            </item>
            <item>
                <p><em>2σ: довірчий інтервал 95%</em></p>
            </item>
            <item>
                <p><em>3σ: довірчий інтервал 99.7%</em></p>
            </item>
        </list>
        <p>Крім того, відповідну довірчу смугу буде зображено як затінену область навколо апроксимованої кривої.</p>
        <p>У розділі «Статистика» буде показано два показники відповідності: R² та КСКП.</p>
        <p>Для лінійної апроксимації R² вимірює, як саме модель може пояснити всю варіацію. Значення 1 означає, що модель ідеально пояснює всі варіації, тоді як значення 0 означає, що вона не пояснює жодної. Зауважте, що для нелінійної апроксимації R² втрачає своє фізичне значення, яке показує, яку частку дисперсії враховано. Він все ще може бути певною мірою корисним для оцінки ступеню відповідності, але саме значення стає дещо довільним.</p>
        <p>Корінь із середньоквадратичної похибки (КСКП) вимірює типовий розмір лишків (різниць між точками даних та апроксимованою кривою) у тих самих одиницях, що й дані Y. На відміну від R², КСКП дає абсолютне уявлення про те, наскільки в середньому відхиляються від прогнозів, що робить його корисним, коли має значення фізична величина помилки.</p>
        <p>Зверніть увагу, що обидві статистики дані вказують лише на те, наскільки добре дані узгоджуються з обраною моделлю, а не те, чи є модель фізично коректною. Такі фактори, як систематичні похибки вимірювання та кореляції між параметрами, не враховуються. Це є неодмінним обмеженням апроксимації кривої та поширеним джерелом оманливих оцінок невизначеності навіть в опублікованих наукових роботах.</p>
    </section>
    <section id="residuals">
        <title>Лишки</title>
        <p>Графік лишків можна переглянути, позначивши пункт <em>Показати лишки</em> в головному меню. У результаті буде показано другий графік під головним, який показуватиме різницю між кожною точкою даних та апроксимованою кривою для цього значення x. Для порівняння буде показано нульову пунктирну лінію.</p>
        <p>У якісному наближенні лишки будуть випадково розкидані навколо нуля без видимої закономірності. Систематична закономірність у лишках, така як крива або тренд, свідчить про те, що для даних вибрано невідповідну модель.</p>
    </section>
    <section id="errors">
        <title>Повідомлення про помилки</title>
        <p>Якщо апроксимацію не можна виконати, на панелі результатів замість значень параметрів буде показано повідомлення про помилку. Можуть статися такі помилки:</p>
        <terms>
            <item>
                <title>Некоректне рівняння</title>
                <p>У рівнянні міститься синтаксична помилка або використано непідтримувані змінні. Перевірте, чи коректно записано вираз.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Помилка обмеження</title>
                <p>Початкове припущення не лежить у заданих межах, або мінімальна межа не менша за максимальну. Переконайтеся, що для кожного параметра межі розташовано таким чином: Нижня межа &lt; Початкове припущення &lt; Верхня межа.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Помилка домену</title>
                <p>Рівняння не є коректним у діапазоні даних, наприклад, через логарифм від'ємного числа або ділення на нуль.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Помилка апроксимації: перевищено максимальну кількість ітерацій</title>
                <p>Алгоритм не показав збіжності у межах дозволеної кількості ітерацій. Спробуйте скоригувати початкові припущення, щоб вони були ближчими до очікуваних значень, або виберіть інший алгоритм.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Помилка у матриці</title>
                <p>Для вибраної моделі недостатньо даних. Це може статися, наприклад, коли точок даних менше, ніж вільних параметрів, або якщо дані недостатньо добре обмежують модель для визначення однозначного розв'язку.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Похибка довірчої смуги</title>
                <p>Коваріаційна матриця нестабільна, тому довірчу смугу неможливо обчислити надійно.</p>
            </item>
        </terms>
    </section>
    <section id="algorithms">
        <title>Алгоритми апроксимації</title>
        <p>Доступні три алгоритми апроксимації, які можна вибрати в головному меню у розділі <em>Метод оптимізації</em>:</p>
        <terms>
            <item>
                <title>Левенберга-Марквардта</title>
                <p>Широко використовуваний алгоритм, який ефективно працює для більшості задач. Підтримки обмеження параметрів не передбачено — поля мінімуму та максимуму буде приховано, коли вибрано цей метод.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Відбита довірча область</title>
                <p>Добре справляється з межами та надійно працює в широкому спектрі задач. Добрий типовий варіант для більшості випадків використання.</p>
            </item>
            <item>
                <title>Конура</title>
                <p>Використовує прямокутні довірчі області та добре підходить для менших задач, де потрібні межі.</p>
            </item>
        </terms>
    </section>
</page>
